Een van de bekendste voorbeelden van botsende deeltjes in de natuur is Brownian motion. Fijn gemalen pollen in water lijken te dansen in willekeurige richting. Dit komt doordat de pollen worden geraakt door watermoleculen die in alle richtingen bewegen. Omdat de pollen veel zwaarder zijn dan watermoleculen, dus de beweging van de pollen is veel langzamer en minder “intens” dan die van de watermoleculen. Dit proces van willekeurige beweging door botsingen met kleinere deeltjes wordt Brownian motion genoemd en kunnen we simuleren op basis van ons (premature) botsingsmodel. Daarbij kunnen we ook gebruik maken van de zojuist geleerde manier van tracking van deeltjes, waarbij we een zowel het zware bolletjes als een enkel deeltje kunnen volgen.
Let op! We bestuderen hier nog geen thermische effecten, deze opdrachten zijn met name bedoeld om beter te begrijpen hoe het botsingsmodel in elkaar zit.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# Maken van de ParticleClass
class ParticleClass:
# Het maken van het deeltje
def __init__(self, m, v, r, R, c):
self.m = m
self.v = np.array(v, dtype=float)
self.r = np.array(r, dtype=float)
self.R = np.array(R, dtype=float)
self.c = c
# Het updaten van de positie, eventueel met zwaartekracht
def update_position(self):
self.r += self.v * dt #+ 1/2 * a * dt**2
# Harde wand
def boxcollision(self):
if abs(self.r[0]) + self.R > Box_length:
self.v[0] = -self.v[0] # Omdraaien van de snelheid
self.r[0] = np.sign(self.r[0]) * (Box_length - self.R) # Zet terug net binnen box
if abs(self.r[1]) + self.R > Box_length:
self.v[1] = -self.v[1]
self.r[1] = np.sign(self.r[1]) * (Box_length - self.R)
@property
def momentum(self):
return self.m * self.v
@property
def kin_energy(self):
return 1/2 * self.m * np.dot(self.v, self.v)# Aanmaken van de randvoorwaarden en initiele condities
Box_size_0 = 10
Box_length_0 = Box_size_0/2
Box_length = Box_length_0 # De grootte van de box kan wijzigen!
# Particles
dt = 0.1
particles = []
N = 40
v_0 = 1
dt = 0.04
# Aanmaken van deeltjes
for i in range(N-1):
vx = np.random.uniform(-v_0,v_0)
vy = np.random.choice([-1, 1])*np.sqrt(v_0**2-vx**2)
pos = Box_length_0*np.random.uniform(-1,1,2)
particles.append(ParticleClass(m=1.0, v=[vx, vy], r = pos, R=.5,c='blue'))
particles.append(ParticleClass(m=20.0, v=[0, 0], r = [0, 0], R=.5,c='red'))
Er is een doos vol met deeltjes op willekeurige positie aangemaakt. We willen kijken waar de deeltjes zijn terechtgekomen. Hieronder staat dit weergegeven.
# Inspecteren van beginsituatie
plt.figure()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.xlim(-Box_length_0,Box_length_0)
plt.ylim(-Box_length_0,Box_length_0)
for particle, particle_object in enumerate(particles):
plt.plot(particle_object.r[0],particle_object.r[1],color=particle_object.c,marker='.')
# plt.arrow(particle_object.r[0],particle_object.r[1],
# particle_object.v[0],particle_object.v[1],
# head_width=0.05, head_length=0.1, color='red')
plt.show()
We gaan nu de functies van de simulatie weer aanroepen:
# Het bepalen of er een botsing plaats vindt
def collide_detection(self, other):
dx = self.r[0] - other.r[0]
dy = self.r[1] - other.r[1]
rr = self.R + other.R
return dx**2+dy**2 < rr**2
def particle_collision(p1: ParticleClass, p2: ParticleClass):
""" past snelheden aan uitgaande van overlap """
m1, m2 = p1.m, p2.m
delta_r = p1.r - p2.r
delta_v = p1.v - p2.v
dot_product = np.dot(delta_r, delta_v)
# Als deeltjes van elkaar weg bewegen dan geen botsing
if dot_product >= 0: # '='-teken voorkomt ook problemen als delta_r == \vec{0}
return
distance_squared = np.dot(delta_r, delta_r)
# Botsing oplossen volgens elastische botsing in 2D
p1.v -= 2 * m2 / (m1 + m2) * dot_product / distance_squared * delta_r
p2.v += 2 * m1 / (m1 + m2) * dot_product / distance_squared * delta_r
def handle_collisions(particles):
""" alle onderlinge botsingen afhandelen voor deeltjes in lijst """
num_particles = len(particles)
for i in range(num_particles):
for j in range(i+1, num_particles):
if collide_detection(particles[i], particles[j]):
particle_collision(particles[i], particles[j])
In onderstaande code geven we de code voor de simulatie en volgen we de positie van het zware deeltje.
# tracken van het zware deeltje
track_x = []
track_y = []
# tracken van een licht deeltje (het eerste deeltje in de lijst)
track_x_light = []
track_y_light = []
for i in range(400):
for p in particles:
p.update_position() # Update positie
p.boxcollision() # Wandbotsing werkt per deeltje
handle_collisions(particles)
track_x.append(particles[N-1].r[0])
track_y.append(particles[N-1].r[1])
# Tracking data voor licht deeltje
track_x_light.append(particles[0].r[0])
track_y_light.append(particles[0].r[1])
plt.figure(figsize=(8,8))
plt.title("Brownian Motion: Heavy (Red) vs Light (Blue) Particle")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.xlim(-Box_length_0, Box_length_0)
plt.ylim(-Box_length_0, Box_length_0)
# Plot pad zwaar deeltje
plt.plot(track_x, track_y, 'r-', linewidth=2, label='Heavy Particle')
# Plot pad licht deeltje
plt.plot(track_x_light, track_y_light, 'c--', linewidth=1, alpha=0.7, label='Light Particle')
plt.legend()
plt.show()We zouden gevoel willen krijgen voor het aantal botsingen dat per tijdseenheid plaatsvindt. Elke keer dat er een botsing plaatsvindt, zou de counter met 1 omhoog moeten gaan. Idealiter wordt het aantal botsingen opgeslagen in een array zodat je het aantal botsingen als functie van de tijd kunt weergeven.
# Modified collision handler that returns the count of collisions
def handle_collisions_with_count(particles):
collisions = 0
num_particles = len(particles)
for i in range(num_particles):
for j in range(i+1, num_particles):
if collide_detection(particles[i], particles[j]):
particle_collision(particles[i], particles[j])
collisions += 1
return collisions
# Reset particles
particles = []
Box_length = Box_length_0
# Create particles again for clean run
for i in range(N-1):
vx = np.random.uniform(-v_0,v_0)
vy = np.random.choice([-1, 1])*np.sqrt(v_0**2-vx**2)
pos = Box_length_0*np.random.uniform(-1,1,2)
particles.append(ParticleClass(m=1.0, v=[vx, vy], r = pos, R=.5,c='blue'))
particles.append(ParticleClass(m=20.0, v=[0, 0], r = [0, 0], R=.5,c='red'))
# Data storage
collision_history = []
time_steps = []
# Run Simulation
for i in range(400):
for p in particles:
p.update_position()
p.boxcollision()
# Get number of collisions in this step
count = handle_collisions_with_count(particles)
collision_history.append(count)
time_steps.append(i * dt)
# Plot
plt.figure(figsize=(10,4))
plt.plot(time_steps, collision_history)
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Number of Collisions')
plt.title('Collisions per Time Step')
plt.show()In zulke fysica modellen is de afgelegde weg (afstand tussen begin en eindpunt) van belang. Deze afgelegde weg zegt iets over de snelheid van difussie. Idealiter bekijken we een histogram. Maar voor een histogram hebben we veel deeltjes nodig.
# 1. Configuration
N_total = 361
N_light = N_total - 1
Box_size_new = 30 # Scaled up box
Box_length = Box_size_new / 2
v_0 = 1
dt = 0.04
# 2. Initialize Particles
particles = []
# Light particles
for i in range(N_light):
vx = np.random.uniform(-v_0, v_0)
vy = np.random.choice([-1, 1]) * np.sqrt(v_0**2 - vx**2)
pos = Box_length * np.random.uniform(-0.9, 0.9, 2)
particles.append(ParticleClass(m=1.0, v=[vx, vy], r=pos, R=0.5, c='blue'))
# Heavy particle (at center)
particles.append(ParticleClass(m=20.0, v=[0, 0], r=[0, 0], R=0.5, c='red'))
# Store initial positions
start_positions = [np.copy(p.r) for p in particles]
# 3. Run Simulation
steps = 400
for step in range(steps):
for p in particles:
p.update_position()
p.boxcollision()
handle_collisions(particles)
# 4. Calculate Displacements
displacements = []
for i, p in enumerate(particles):
dist = np.linalg.norm(p.r - start_positions[i])
displacements.append(dist)
# 5. Plot Histogram
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.hist(displacements[:-1], bins=20, alpha=0.7, label='Light Particles')
plt.axvline(displacements[-1], color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label='Heavy Particle')
plt.xlabel('Displacement (Afgelegde weg)')
plt.ylabel('Count')
plt.title('Histogram of Particle Displacements')
plt.legend()
plt.show()En nu we toch bezig zijn met twee verschillende deeltjes....
We kunnen twee “groepen” van deeltjes aanmaken, elk met een andere massa. Als we dan de zwaartekracht aan zetten, dan zouden we verwachten dat de lichtere deeltjes boven komen “drijven”.
# 1. Update Particle Class to include Gravity
class ParticleClassGravity(ParticleClass):
def update_position(self):
g = 0.5 # Gravity strength
self.v[1] -= g * dt
self.r += self.v * dt
# 2. Setup Rectangular Box
Box_width = 10
Box_height = 20
Lx = Box_width / 2
Ly = Box_height / 2
# Custom rectangular collision
def boxcollision_rect(p, Lx, Ly):
if abs(p.r[0]) + p.R > Lx:
p.v[0] = -p.v[0]
p.r[0] = np.sign(p.r[0]) * (Lx - p.R)
if abs(p.r[1]) + p.R > Ly:
p.v[1] = -p.v[1]
p.r[1] = np.sign(p.r[1]) * (Ly - p.R)
# 3. Initialize Particles
particles = []
N = 80
for i in range(N):
mass = np.random.choice([1.0, 10.0]) # Random mass
color = 'blue' if mass == 1.0 else 'red'
vx = np.random.uniform(-1, 1)
vy = np.random.uniform(-1, 1)
pos_x = (Lx - 1) * np.random.uniform(-1, 1)
pos_y = (Ly - 1) * np.random.uniform(-1, 1)
particles.append(ParticleClassGravity(m=mass, v=[vx, vy], r=[pos_x, pos_y], R=0.5, c=color))
# 4. Run Simulation
steps = 600
for step in range(steps):
for p in particles:
p.update_position()
boxcollision_rect(p, Lx, Ly)
handle_collisions(particles)
# 5. Plot Final State
plt.figure(figsize=(5, 10))
plt.title("Gravity Effect: Heavy (Red) vs Light (Blue)")
plt.xlim(-Lx, Lx)
plt.ylim(-Ly, Ly)
for p in particles:
plt.plot(p.r[0], p.r[1], marker='o', color=p.c, markersize=8 if p.m > 1 else 4)
plt.show()